Lời giải Kỳ thi chọn đội tuyển HSG lớp 9 cấp THCS năm học 2019 - 2020 Quận 1 - TP.HCM

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: $P = \frac{{3x + 3\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}$ (với $x \ge 0;x \ne 1$ )

b) Cho $x = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }$ . Tính giá trị của biểu thức $A=x(x-2)$

Câu 2: (3,0 điểm)

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2019. Chứng minh rằng:

$\sqrt {\frac{{xy}}{{xy + 2019z}}} + \sqrt {\frac{{yz}}{{yz + 2019x}}} + \sqrt {\frac{{xz}}{{xz + 2019y}}} \le \frac{3}{2}$

Câu 3: (3,0 điểm)

Một chung cư có 100 căn hộ cho thuê. Nếu mỗi căn hộ cho thuê với giá 10 triệu đồng một tháng thì tất cả các căn hộ được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng thêm 1 triệu đồng tiền thuê mỗi căn hộ trong một tháng thì số căn hộ cho thuê lại giảm đi 5 căn. Hỏi nhà đầu tư phải quyết định giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu trong một tháng tiền doanh thu từ tiền cho thuê căn hộ trong một tháng là lớn nhất?

Câu 4: (4,0 điểm)

Có hai tòa nhà cao tầng, tòa thứ nhất thấp hơn tòa thứ hai. Biết rằng một thiết bị bay điều khiển ở vị trí C của tòa nhà thứ nhất bay sang vị trí D của tòa nhà thứ hai theo đường thẳng với vận tốc 9m/s trong thời gian 5 phút và đường bay so với phương ngang một góc bằng $4^\circ5'$ . Khi đó, một người đứng ở vị trí M của tòa nhà thứ ba có độ cao 50m (tòa nhà thứ ba nằm giữa hai tòa nhà thứ nhất và thứ hai) có góc nhìn với đỉnh C của tòa nhà thứ nhất là $18^\circ$ và với đỉnh D của tòa nhà thứ hai là $11^\circ30'$ so với phương nằm ngang. Tìm chiều cao tòa nhà thứ nhất và tòa nhà thứ hai (độ dài đoạn thẳng làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 5: (6,0 điểm)

Cho đường tròn (O) có đường kính BC = 2R và A là một điểm thuộc đường tròn (O) (A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC tại H, gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

a) Chứng minh $\sqrt 3 \left( {BD\sqrt {CH} + CE\sqrt {BH} } \right) = \sqrt {B{C^3} - B{H^3} - C{H^3}}$